1. 二元函数可微的充要条件

若函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续且偏导数 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 和$\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处存在且连续，则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。

2. 充分性证明

设 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，则有： $$f(x,y) = f(x_0,y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) + \epsilon_1(x,y)(x-x_0)+\epsilon_2(x,y)(y-y_0)$$ 其中 $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\epsilon_1(x,y) = 0$，$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\epsilon_2(x,y) = 0$。 由于 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处存在且连续，因此： $$\lim_{x\to x_0} \dfrac{\epsilon_1(x,y_0)}{x-x_0} = \lim_{y\to y_0} \dfrac{\epsilon_2(x_0,y)}{y-y_0} = 0$$ 故 $\epsilon_1(x,y)$ 和 $\epsilon_2(x,y)$ 都是 $o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$ 级别的无穷小，即： $$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\dfrac{\epsilon_1(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}= \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\dfrac{\epsilon_2(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}= 0$$ 因此，二元函数可微的充分条件得证。

3. 必要性证明

设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续且偏导数 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 和$\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处存在且连续。假设 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处不可微，则存在 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时二元函数 $f(x,y)$ 的增量 $f(x,y)-f(x_0,y_0)$ 不能表示为： $$f(x,y)-f(x_0,y_0) = A(x-x_0) + B(y-y_0) + \alpha\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$$ 其中 $A$ 和 $B$ 分别是常数，$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\alpha=0$。 令 $(x_n,y_n)$ 是满足 $\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}=\dfrac{1}{n}$ 的点，则有： $$f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0) = \alpha_n \sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}$$ 其中 $\alpha_n>0$。 令 $u_n = \dfrac{x_n-x_0}{\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}}$，$v_n = \dfrac{y_n-y_0}{\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}}$，则有： $$f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0) = \alpha_n \sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2} = \alpha_n \sqrt{u_n^2+v_n^2} \cdot \dfrac{\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}}{\sqrt{(u_n^2+v_n^2)}}$$ 由于 $\lim_{n\to\infty} u_n=\cos\theta$，$\lim_{n\to\infty} v_n=\sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $\overrightarrow{OP}$ 和 $x$ 轴正半轴的夹角，可以得到： $$\lim_{n\to\infty} \dfrac{f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0)}{\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}} = \lim_{\rho \to 0} \dfrac{\alpha(\rho)}{\rho} = \alpha>0$$ 这与 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续矛盾，因此二元函数可微的必要条件得证。

4. 总结

二元函数可微的充要条件为：函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续且偏导数 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处存在且连续。这一结论的证明分为充分性证明和必要性证明两部分。