组合数是组合数学中的一个重要概念，它描述了从一个给定集合中选取一定数量元素的方式数目。组合数的性质和公式推导是组合数学研究的核心内容之一。在这篇文章中，我们将讨论组合数的性质以及推导组合数的公式。

组合数C(n, k)的值表示从n个元素中选取k个元素的方式数目。组合数有一个重要的性质，即C(n, k) = C(n, n-k)。这个性质可以通过排列的方式来理解。选取k个元素相当于从n个元素中选择出来，剩下的n-k个元素自动成为不选取的部分。因此，选取k个元素和选取n-k个元素的方式数目应该是相同的。

组合数还有一个重要的性质，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。这个性质可以通过递归的方式来证明。当我们从n个元素中选取k个元素时，我们可以考虑被选取的第一个元素是哪一个。如果第一个元素是n，那么我们只需要从剩下的n-1个元素中再选取k-1个元素即可；如果第一个元素不是n，那么我们需要从剩下的n-1个元素中选取k个元素。

接下来，我们来推导组合数的公式。假设有n个元素，我们需要选取k个元素。我们可以将n个元素排列成一个长为n的序列，然后从中选取其中的k个元素作为组合数。根据排列的定义，这种排列的方式数目是n(n-1)(n-2)...(n-k+1)。但是，由于我们选取的元素是无序的，所以我们需要除以k!来去除重复计数。因此，组合数C(n, k)的公式可以写作C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)。

我们还可以利用递推关系来计算组合数。我们可以使用一个二维的数组来存储组合数，其中第(i, j)个元素表示从i个元素中选取j个元素的方式数目。根据递推关系C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，我们可以使用动态规划的思想计算组合数。通过填充数组的每一个元素，我们最终可以得到组合数的值。